Pour quoi, formé d’une préposition et d’un pronom, demande le but : pour quelle chose, pour quel objectif ? Il s’oppose à pour qui. La réponse attendue est « pour telle chose, pour ceci ». L’action s’accomplit au profit de cette chose.
➡️ Pour quoi est-il venu ?
➡️ Je ne sais pas pour quoi il est venu. (Exemple de réponse : Pour nous demander un service.)
Pourquoi est un adverbe demandant la cause d’un fait ou la raison d’une décision, le motif d’une action (Girodet).
➡️ Je ne sais pas pourquoi il est venu. (Exemple de réponse : Parce qu’il voulait nous revoir.)
Devant un infinitif transitif (sans autre complément que quoi), on écrit pour quoi.
➡️ L’instauration d’un service national volontaire : pour quoi faire ?
(Équivaut à « pour faire quoi ? », familier.) Quoi est complément d’objet de faire.
Si l’infinitif est intransitif ou s’il a un complément direct, on écrit pourquoi.
➡️ Pourquoi courir si vite ?
➡️ Pourquoi faire toutes ces recherches ?
Pour Le Bon Usage, pour quoi faire s’écrit souvent, quoique de façon peu logique, pourquoi faire.
Pour le TLFi, l’orthographe hésite entre pourquoi faire et pour quoi faire. Cette dernière orthographe, plus rationnelle, prévaut.
Pourquoi faire est un solécisme pour Dupré.
Mais on trouve pourquoi faire sous la plume de grands auteurs comme Hugo et Malraux.
Ce pour quoi / ce pourquoi : les deux graphies sont admises aujourd’hui, mais ce pour quoi est beaucoup plus courant.
➡️ Il n’était pas question d’abandonner ce pour quoi il s’était battu.
La construction la raison pour quoi a été supplantée par la raison pourquoi, quoique les deux formes soient attestées. Mais on dit le plus souvent la raison pour laquelle.